Medir lo inmedible

Son varias las propiedades y características que definen que un objeto sea un fractal. Así como se busca medir cajas, pirámides, pelotas, también se busca una forma de medir los fractales, solo que esta medición no incluye rectas, puntos o superficies, por lo que aquí explicaremos la dimensión fractal para poder abordar la medición de un fractal y describir su geometría.

Las matemáticas clásicas están diseñadas para estudiar el mundo que hemos creado, lo artificial, los objetos de la vida cotidiana que el hombre ha construido mediante reglas. Para eso nos sirve la geometría tradicional que estudia puntos, líneas, planos y volúmenes de estas cosas. Sin embargo los patrones de la naturaleza, los árboles, el cielo, las montañas, todo eso es ajeno a las matemáticas clásicas, y no es hasta 1977 en que Benoit Mandelbrot plantea que existe un orden bajo ese aparente caos.

 “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.”

Mandelbrot, “Fractal Geometry of Nature” (1982) 

La geometría fractal surge de la necesidad de una nueva geometría que pueda medir y dar explicación a elementos, estructuras y fenómenos de la naturaleza, da una forma de percibir el mundo en el que vivimos de una manera extremadamente precisa.

¿Qué es un fractal?

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas, es decir, la figura se repite en sí misma una y otra vez. Así, para que un objeto sea considerado fractal debe de cumplir las siguientes condiciones:

  • Autosimilitud. Una figura geométrica tiene autosimilitud, si al fijarnos en una parte del objeto original podemos encontrar la forma de toda la figura nuevamente. Por ejemplo, todos hemos comido brócoli, ¿verdad? y siempre nos llega la comparación con un árbol y que al irlo separando sacamos mini arbolitos, pues el brócoli tiene autosimilitud.

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  • Que su estructura se mantenga a cualquier escala, básicamente, es parte de lo mismo, pues si tomamos el copo de Koch de la siguiente imagen y la vemos a mayor escala, nos distinguiremos el cambio de escala.
  • ·         Infinitud: Esto es la cualidad de lo que es infinito
  • Dimensión fractal, la cual se refiere a cómo el objeto geométrico llena el     espacio en que está inmerso. Los fractales se comportan de manera diferente a lo que acostumbramos: son “más que líneas” y al mismo tiempo “menos que áreas”, o “más que puntos” y al mismo tiempo “menos que líneas”. Por eso se dice que su dimensión es fraccionaria o no entera.

Es importante mencionar que también existen fractales que no son autosimilares. Para eso, se toma en cuenta la dimensión fractal, así que intentaré hablar de ella sin liarlos demasiado

Hausdorff define la dimensión fractal de la siguiente manera

D = logarítmo c/logarítmo a

donde c es el número de copias necesarias para conseguir el doble de la imágen y a la medida de la longitud actual.

Esto tiene como finalidad reflejar la propiedad de escala de un fractal, sin embargo, esta definición solo es fiel a fractales que son el ideal de autosimilitud a cualquier escala.

Para la curva de Koch se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se reemplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Por lo tanto a = ⅓, por construcción y c = 4 pues hemos obtenido 4 segmentos como el original.

Ahora, si tenemos una figura que no se puede dividir en copias iguales, es decir, no tenemos una figura regular o autosimilar, el conteo de cajas es otro método para medir la dimensión fractal.

Este método consiste en establecer un sistema cartesiano de coordenadas que contenga el conjunto de puntos de la imagen que deseamos analizar donde se utiliza una rejilla de celdas de lado s cubriendo el objeto a explorar. Se contabilizan las celdas n(s) ocupadas por la imagen y se repite la operación para otro tamaño de celda de lado s.

Ahora representaremos en unos ejes cartesianos el punto (log(s),log n(s)). Este proceso lo repetiremos varias veces cambiando el valor de s, de manera que vamos obteniendo una nube de puntos. Buscamos la recta que más se aproxime a la nube de puntos y la pendiente de esta recta es la dimensión buscada.

La dimensión fractal nos da un modo cuantitativo de descubrir la irregularidad y de poder expresar qué tan rugosa es una superficie, pues ni las paredes o el suelo son lisos o rectos.

Los fractales nos invitan a formar parte de la naturaleza y que, las matemáticas, formen parte de ella, nos invitan a hacer descubrimientos médicos, económicos, computacionales, etc., si aprendemos a observar lo que nos rodea, pero como bien dice Mandelbrot:

“La experiencia de la humanidad siempre ha presentado formas con esta peculiar característica, en donde cada parte es similar al todo, pero más pequeño. ¿y qué hizo la humanidad con ello? Muy, muy poco.” [2]

Por ello, hay que poder apreciar la naturaleza y las matemáticas como partes de un todo, pues los fractales y su dimensión son el canal entre ellos.

[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides

[2]https://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_and_the_art_of_roughness#t-145927

Semblanza de la autora.

Brenda Cotto Parraguirrenos es estudiante de la licenciatura de Matemáticas en la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Actualmente se interesa en álgebra y divulgación científica. Hace su servicio social en el proyecto “Divulgación Científica en la Sierra Norte de Puebla”. Ha participado en Noche de las Estrellas como tallerista y cuenta cuentos, y trabajado proyecto una feria de ciencias (Cientificón) y la implementación de un Cineclub. Ambos proyectos con el apoyo de (y para) mi facultad.

Soy una persona que aprende rápido y que le gusta de todo un poco, lo cual me ha servido en todo lo que me he desarrollado, pues no hay poder más grande que el interés y el trabajo.

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Esta entrada es el resultado del taller Escribir para divulgar, donde los participantes han empezado a desarrollar habilidades de escritura, para compartir eso que saben o que les gusta acerca de la ciencia y la tecnología.

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